Question

（本小題滿分18分）設數列{}的前項和為，且滿足=2-，(=1，2，3，…)

(Ⅰ)求數列{}的通項公式；

(Ⅱ)若數列{}滿足=1，且，求數列{}的通項公式；

(Ⅲ),求的前項和

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) an=(n∈N*)； (Ⅱ) bn=3-2()n-； (Ⅲ)  。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)∵n=1時，a1+S1=a1+a1=2

∴a1=1 

∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2

兩式相減：an+1-an+Sn+1-Sn=0

即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an

∵an≠0 ∴(n∈N*)

所以，數列{an}為首項a1=1，公比為的等比數列.an=(n∈N*)

(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)

∴bn+1-bn=()n-1

得b2-b1=1

b3-b2=

b4-b3=()2

……

bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)

將這n-1個等式相加，得

bn-b1=1+

又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)  

(3)

所以

考點：數列通項公式的求法；數列前n項和的求法。

點評：若已知遞推公式為的形式求通項公式常用累加法。

注：①若是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;

②若是關于n的二次函數，累加后可分組求和;

③是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;

④是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。