Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）兩個(gè)零點(diǎn)，；

（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒有單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）令，即，即，將代入可求得兩根為，；（2），對(duì)分成，，，四類來討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由（2）可知函數(shù)在時(shí)取得最小值，故，解得．

試題解析：

（1）令，即，∵，∴．

，∵，∴．

∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根：，．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，．

（2）．

令，即，解得或．

當(dāng)時(shí)，列表得：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，

①若，則，列表得：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

②若，易知的單調(diào)減區(qū)間為；

③若，則，列表得：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒有單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（3）∵， ∴當(dāng)時(shí)，有，，，∴，從而．

當(dāng)時(shí)，由（2）可知函數(shù)在時(shí)取得最小值．

∴為函數(shù)在上的最小值．

∴，解得．

∴的取值范圍是．