Question

5．已知橢圓C的兩焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），長軸長是短軸長的2倍．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，若x₁x₂+y₁y₂=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a=2b，a，b，c的關系，計算即可得到a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，運用韋達定理，化簡整理即可得到k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知$\left\{\begin{array}{l}a=2b\;，\;\\ c=\sqrt{3}\;\\{a^2}={b^2}+{c^2}\;，\;\;\end{array}\right.$
解得a²=4，b²=1，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；              
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\;，\;\\ y=k（x-1）\;，\;\end{array}\right.$消去y，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4（{k^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$．
${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}$
=$\frac{{4（1+{k^2}）（{k^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{8{k^4}}}{{1+4{k^2}}}+{k^2}=\frac{{{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$=0，
所以k²-4=0，解得k=±2．
所以直線l的方程為y=2x-2或y=-2x+2．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的方程和運用，聯立直線方程，運用韋達定理，考查化簡整理和運算求解能力，屬于中檔題．