Question

12．如圖，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=2，∠BAC=90°，D，E，F分別是邊BC，CA，AB上的點且$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的值為$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB，AC所在直線為y，x軸，建立直角坐標系，即有A（0，0），B（0，4），C（2，0），設D（a，b），E（c，d），F（e，f），由向量共線的坐標表示，解方程可得D，E，F，再由向量的數量積的坐標表示，計算即可得到．

解答 解：以A為坐標原點，AB，AC所在直線為y，x軸，建立直角坐標系，
即有A（0，0），B（0，4），C（2，0），設D（a，b）
E（c，d），F（e，f），
由$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，則（c-2，d-0）=$\frac{1}{4}$（-2，0），
（e，f）=$\frac{1}{4}$（0，4），（a，b-4）=$\frac{1}{4}$（2，-4），
解得D（$\frac{1}{2}$，3），E（$\frac{3}{2}$，0），F（0，1），
即有$\overrightarrow{DE}$=（1，-3），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，-2），
則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=1×（-$\frac{1}{2}$）+（-3）×（-2）=$\frac{11}{2}$．
故答案為：$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查向量的數量積的坐標表示，主要考查向量共線的坐標運算，注意運用坐標法是解題的關鍵．