Question

17．函數(shù)y=cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]$的最小值為0．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角的余弦公式的變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值．

解答 解：由題意得，y=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，則$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴函數(shù)的最小值$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評 本題考查二倍角的余弦公式的變形，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．