【題目】在單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求證:B1C∥平面ODC1;
(2)求異面直線B1C與OD夾角的余弦值;
(3)求直線B1C到平面ODC1的距離.
【答案】
(1)證明:設(shè)平面ODC1的一個(gè)法向量為 ,
由 得 ,令y=1,則z=﹣1,x=1
所以 .
又 .從而
所以B1C∥平面ODC1
(2)解:設(shè) 、 分別為直線B1C與OD的方向向量,
則由 , 得cos< , >= .
所以兩異面直線B1C與OD的夾角θ的余弦值為
(3)由(1)知平面ODC1的一個(gè)法向量為 ,
又
所以B1C到平面ODC1的距離
【解析】(1)求出平面ODC1的一個(gè)法向量,證明 ,即可證明:B1C∥平面ODC1;(2)設(shè) 、 分別為直線B1C與OD的方向向量,則由 , 得cos< , >,即可求異面直線B1C與OD夾角的余弦值;(3)B1C到平面ODC1的距離 .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為,且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是.
(1)求的最小值及此時(shí)函數(shù)的最小正周期、初相;
(2)在(1)的情況下,設(shè),求函數(shù)在上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=﹣(x﹣1)2+1,則滿足f[f(a)+ ]= 的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如圖,其中, , ,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,請(qǐng)證明平面,并求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:關(guān)于x的不等式ax>1,(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命題q:函數(shù)y=lg(x2﹣x+a)的定義域?yàn)镽,若p∨q為真p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,其中男生400名,女生600名,該校組織了一次口語(yǔ)模擬考試(滿分為100分).為研究這次口語(yǔ)考試成績(jī)?yōu)楦叻郑?0分以上(含80分)為高分)是否與性別有關(guān),現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取100名學(xué)生的成績(jī),按從低到高分成七組,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知區(qū)間上的頻率等于區(qū)間上頻率,區(qū)間上的頻率與區(qū)間上的頻率之比為.
0.010 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
6.635 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
(1)估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生在口語(yǔ)考試中,成績(jī)?yōu)楦叻值娜藬?shù);
(2)請(qǐng)你根據(jù)已知條件將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校高一年級(jí)學(xué)生在本次考試中口語(yǔ)成績(jī)及格(60分以上(含60分)為及格)與性別有關(guān)”.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC⊥PB,△BCD為等邊三角形,PA=BD= ,AB=AD,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:BC⊥AB;
(2)求AB的長(zhǎng);
(3)求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|a﹣3<x<a+3},B={x|x2﹣2x﹣3>0}.
(1)若a=3,求A∩B,A∪B;
(2)若A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x﹣1=0,直線l:3x﹣4y+12=0,圓C上任意一點(diǎn)P到直線l的距離小于2的概率為 .
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