Question

20．已知數列{a_n}為等差數列，且a₁=3，a₁+a₂+a₃=12．
（1）數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$，求證：數列{b_n}是等比數列
（3）求證：$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的通項公式及其定義即可得出；
（3）$（2{a}_{n}-5）^{2}$=（2n-1）²，n≥2時，$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．利用“累加求和”與數列的單調性即可得出．

解答 （1）解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₁+a₂+a₃=12，∴3×3+3d=12，解得d=1．
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）證明：b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ⁺²=27×3^n-1，
∴數列{b_n}是等比數列，首項為27，公比為3．
（3）證明：∵$（2{a}_{n}-5）^{2}$=（2n-1）²，
∴n≥2時，$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$＜$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．
∴$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$=1+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）$＜$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{（2{a}_{1}-5）^{2}}$+$\frac{1}{（2{a}_{2}-5）^{2}}$+…+$\frac{1}{（2{a}_{n}-5）^{2}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、“累加求和”方法、“放縮法”、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．