Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+（-1）ⁿ（n∈N⁺）．
（1）若b_n=a_2n-1-$\frac{1}{3}$，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列并求其通項公式；
（2）求a_n的通項公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和數(shù)列的遞推公式得到∴{b_n}是公比為4首項為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，問題得以解決，
（2）分n偶偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}$=$\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{3}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{3}}}$，
又∵a_2n+1=2a_2n+1，a_2n=2a_2n-1-1，
∴a_2n+1=4a_2n-1-1，
∴a_2n+1-$\frac{1}{3}$=4（a_2n-1-$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{3}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{3}}}$=4，
∴{b_n}是公比為4的等比數(shù)列，
∵a₁-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴b_n的首項為$\frac{2}{3}$，
∴b_n=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}$（n∈N⁺）；
（2）∵a_2n-1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}•{4^{n-1}}$，
∴a_2n-1=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}•{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{3}•（{2^{2n-1}}+1）$，
∴a_2n=2a_2n-1-1=$\frac{1}{3}•{2^{2n}}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}•（{2^{2n}}-1）$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}（{2^n}+1）（n為奇數(shù)）\\ \frac{1}{3}（{2^n}-1）（n為偶數(shù)）\end{array}\right.$

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．