Question

12．某同學(xué)做3個(gè)數(shù)學(xué)題和2個(gè)物理題，已知做對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)題的概率為$\frac{2}{3}$，做對(duì)每個(gè)物理題的概率為p（0＜p＜1），5個(gè)題目做完只錯(cuò)了一個(gè)的概率為$\frac{7}{27}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）做對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)題得2分，做對(duì)一個(gè)物理題得3分，該同學(xué)做完5個(gè)題目的得分為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用5個(gè)題目做完只錯(cuò)了一個(gè)的概率為$\frac{7}{27}$．列出方程求解即可．
（2）求出隨機(jī)變量ξ的情況，求出對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（1）由題意得$C_3^1{（\frac{2}{3}）^2}（\frac{1}{3}）{p^2}+{（\frac{2}{3}）^3}C_2^1p（1-p）=\frac{7}{27}$，解得$p=\frac{1}{2}$
（2）該同學(xué)做完5個(gè)題目的得分為隨機(jī)變量ξ，ξ的值分別為：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列為：

ξ	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
p	$\frac{1}{108}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{54}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{27}$

Eξ=$0×\frac{1}{100}$$+2×\frac{1}{18}$+3×$\frac{1}{53}$+4×$\frac{1}{9}$$+5×\frac{1}{9}$$+6×\frac{1}{12}$$+7×\frac{2}{9}$$+8×\frac{1}{18}$$+9×\frac{4}{27}$$+10×\frac{1}{9}$$+12×\frac{2}{27}$=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．