Question

12．某同學做3個數(shù)學題和2個物理題，已知做對每個數(shù)學題的概率為$\frac{2}{3}$，做對每個物理題的概率為p（0＜p＜1），5個題目做完只錯了一個的概率為$\frac{7}{27}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）做對一個數(shù)學題得2分，做對一個物理題得3分，該同學做完5個題目的得分為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用5個題目做完只錯了一個的概率為$\frac{7}{27}$．列出方程求解即可．
（2）求出隨機變量ξ的情況，求出對應的概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（1）由題意得$C_3^1{（\frac{2}{3}）^2}（\frac{1}{3}）{p^2}+{（\frac{2}{3}）^3}C_2^1p（1-p）=\frac{7}{27}$，解得$p=\frac{1}{2}$
（2）該同學做完5個題目的得分為隨機變量ξ，ξ的值分別為：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列為：

ξ	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
p	$\frac{1}{108}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{54}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{27}$

Eξ=$0×\frac{1}{100}$$+2×\frac{1}{18}$+3×$\frac{1}{53}$+4×$\frac{1}{9}$$+5×\frac{1}{9}$$+6×\frac{1}{12}$$+7×\frac{2}{9}$$+8×\frac{1}{18}$$+9×\frac{4}{27}$$+10×\frac{1}{9}$$+12×\frac{2}{27}$=7．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力．