Question

14．已知橢圓x²+my²=1的焦點(diǎn)在y軸上．
（1）若長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍．求m的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)P為短軸上的右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，問(wèn)△PF₁F₂能否成為直角三角形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意可得0＜m＜1，由橢圓方程可得a，b，解m的方程可得m的值；
（2）△PF₁F₂不能成為直角三角形．求得橢圓的右頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，以及△PF₁F₂的三邊長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理，即可判斷．

解答 解：（1）橢圓x²+my²=1的焦點(diǎn)在y軸上，
即有0＜m＜1，
由橢圓方程x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1可得，
b=1，a=$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
由長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，可得$\sqrt{\frac{1}{m}}$=2，
解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）△PF₁F₂不能成為直角三角形．
理由：橢圓方程x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有短軸的右頂點(diǎn)為P（1，0），
焦點(diǎn)為F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），
|PF₁|=|PF₂|=2，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
由|PF₁|²+|PF₂|²≠|(zhì)F₁F₂|²，
可得△PF₁F₂不為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查直角三角形的判斷，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．