Question

設(shè)

a

，

b

，

c

是任意的平面向量，給出下列命題：
①（

a

•

b

）

c

=（

b

•

c

）

a

，
②若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

⊥（

b

-

c

），
③（

a

+

b

）（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²，
④（

a

•

b

）²=

a

²•

b

²，
其中正確的是

 

．（寫出正確判斷的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算的概念進(jìn)行判斷；
②注意特殊向量零向量的影響；
③利用數(shù)量積運(yùn)算、多項(xiàng)式乘法公式展開后，進(jìn)行化簡即可；
④由數(shù)量積的定義式推導(dǎo)．

解答： 解：
①（

a

•

b

）

c

是向量

c

的共線向量，而（

b

•

c

）

a

是

a

的共線向量，顯然左右兩邊的向量方向未必相同，故①錯；
②若

a

•

b

=

a

•

c

，則(

b

-

c

)•

a

=0，則

a

=

0

時上式成立，但不滿足

0

⊥（

b

-

c

），故②錯；
③（

a

+

b

）（

a

-

b

）=

a

2-

a

•

b

+

b

•

a

-

b

2=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2，故③對；
④（

a

•

b

）²=(|

a

||

b

|cosθ)2=|

a

|2|

b

|2cos2θ=

a

2

b

2cos2θ，未必與 

a

²•

b

²相等．
故答案為③．

點(diǎn)評：本例考查了數(shù)量積的概念、運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，在思考的過程中，要充分考慮特殊向量

0

對結(jié)果的影響．