【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)已知函數(shù)的圖象與直線相交于,兩點(diǎn)(),證明:.
【答案】(1)分類討論,答案見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),利用確定增區(qū)間,確定減區(qū)間,從而可得極值;
(2)由(1)知只有在且即時(shí),函數(shù)的圖象與直線才有兩個(gè)交點(diǎn),由得,可得,同時(shí)由消去參數(shù),并設(shè),都可用表示,要證不等式,只要證,即,只要證,引入新函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可證.
解:(1),
①當(dāng)時(shí),,此時(shí)在
②當(dāng)時(shí),由,得.
所以時(shí),,單調(diào)遞減;
時(shí),,單調(diào)遞增.
此時(shí)函數(shù)有極小值為,無極大值.
(2)由題設(shè)可得,所以,
且由(1)可知,,.
,,∴,同理,
由,可知,所以.
由,得,
作差得
設(shè)(),由,得,
所以,即,
所以,
要證,只要證,即,只要證.
設(shè)(),
則.
所以在單調(diào)遞增,.
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量()數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1.469 | 108.8 |
表中,
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?給出判斷即可,不必說明理由
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:
①年宣傳費(fèi)時(shí),年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?
②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng),并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:
(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;
(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),(),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí)的圖象總在函數(shù)的圖象的下方,求正實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在平面五邊形中,是梯形,,,,,是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起,連接、得如圖②的幾何體.
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若,在棱上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的離心率為,與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)Q(,1).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若P(m,n)為橢圓C外一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并求△ABP面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若的值域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是菱形,,是棱的中點(diǎn),,在線段上,且.
(1)證明:面;
(2)若,面面,求二面角的余弦值.
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