Question

13．有如下命題：
①“a＞b＞0”是“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$”成立的充分不必要條件；
②a＞b＞0，t＞0，則$\frac{a}$＜$\frac{a+t}{b+t}$；
③a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²對(duì)一切正實(shí)數(shù)a，b均成立；
④“$\frac{a}$＞1”是“a-b＞0”成立的必要非充分條件．
其中正確的命題為①③（填寫(xiě)正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①④主要是當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)的情況；
②③可用做差比較法判定，得出結(jié)論；

解答 解：①“a＞b＞0”能推出“$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$”，但反之不一定，比如a＜0時(shí)不成立，故是充分不必要條件，故正確；
②a＞b＞0，t＞0，則$\frac{a}$-$\frac{a+t}{b+t}$=$\frac{t（a-b）}{b（b+t）}$＞0，故$\frac{a}$＞$\frac{a+t}{b+t}$，故錯(cuò)誤；
③a⁵+b⁵-a²b³+a³b²=（a-b）²（a+b）（a²+ab+b²），顯然對(duì)一切正實(shí)數(shù)a，b均成立，故正確；
④“$\frac{a}$＞1”推不出“a-b＞0”，反之也不能，應(yīng)是即不充分也不必要條件，故錯(cuò)誤．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng) 考查了命題間的關(guān)系和做差法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．