Question

2．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F為棱BC上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F滿足CF=2FB時(shí)，求直線AD與面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由AE⊥平面CDE得出CD⊥AE，又CD⊥AD，得出CD⊥平面ADE，于是平面ABCD⊥平面ADE；
（II）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{DA}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則線AD與面AEF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞|．

解答 證明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．
∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．
又AD?平面ADE，AE?平面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，又CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（II）過(guò)A作z軸∥AE，則z軸⊥平面CDE．
∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，1），E（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{EA}$=（0，0，1），$\overrightarrow{EF}$=（2，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{2x-\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}$=6，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{DA}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴直線AD與面AEF所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本土你考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．