Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3x對任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，則x∈ ．

Answer 1

【答案】（﹣2, ）
【解析】解：由題意得，函數(shù)的定義域是R，

且f（﹣x）=（﹣x）3+3（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），

所以f（x）是奇函數(shù)，

又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，

所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化為：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），

由f（x）遞增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，

則對任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，

等價于對任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，

所以 ，解得﹣2＜x＜ ，

即x的取值范圍是（﹣2， ），

所以答案是：（﹣2， ）．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．