Question

15．裝潢師小王在墻面上設(shè)計了如圖所示的一個圖案，已知四邊形四個頂點都在圓周上，且AD=DC=4m，BC=6m，∠A=120°，現(xiàn)在小王想買乳膠漆給四邊形ABCD涂色，依據(jù)設(shè)計方案四邊形的四邊涂成紅色，四邊形內(nèi)部要涂成藍色，他想根據(jù)線段的長度與四邊形的面積來買乳膠漆．請你幫他計算：
（1）線段AB的長度；
（2）四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）在△BCD中，利用余弦定理求出BD，再在△ABD中，利用余弦定理求出AB；
（2）利用S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，即可求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：（1）在△BCD中，∠C=180°-∠A=60°，
∴BD²=BC²+DC²-2BC×CD×cosC=36+16-24=28，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cosA=AB²+16+4AB
∴AB²+4AB-12=0，
∴（AB-2）（AB+6）=0，
∴AB=2，
（2）S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×AB×sinA=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC×CD×sinC=$\frac{1}{2}$×6×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．