Question

5．若函數f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在R上存在三個零點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． a＞$\sqrt{2}$
• B． a＞$\sqrt{2}$或a＜-$\sqrt{2}$
• C． a＜-$\sqrt{2}$
• D． a＜-1

Answer 1

分析 根據函數函數f（x）有三個相異的零點，可得函數f（x）的極大值與極小值異號，利用導數確定函數的極大值與極小值，從而可得不等式，故可求實數a的取值范圍

解答 解：∵函數f（x）=）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a在x∈R上有三個零點，
∴函數f（x）的極大值與極小值異號．
∵f′（x）=3x²-3ax
∴f′（x）=0時，x=0或x=a
∴f（0）×f（a）=a（a³-$\frac{3}{2}$a³+a）＜0，
∴1-$\frac{1}{2}{a}^{2}$＜0，
∴a＞$\sqrt{2}$，或a＜$-\sqrt{2}$，
故選：B

點評 本題以函數為載體，考查函數的零點，考查利用導數求函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，將函數f（x）有三個相異的零點，轉化為函數f（x）的極大值與極小值異號是解題的關鍵．