Question

已知數(shù)列{a_n}是公差大于零的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，b₂-a₂=1，a₃+b₃=13
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意列方程組求得公差和公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，然后直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），數(shù)列{b_n}的公比為q，
由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，解得：

d=-10 q=-4

，

d=2 q=2

，
∵d＞0，∴d=2，q=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，bn=2×2n-1=2n，
即an=2n-1(n∈N*)，bn=2n(n∈N*)；
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（2n-1）2ⁿ，
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n  ①，
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1  ②，
②-①得：Tn=-1×2-2×22-2×23-…-2×2n+(2n-1)×2n+1
=-2-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-2-

23(1-2n-1)

1-2

+(2n-1)×2n+1
=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．