Question

（Ⅰ）若x∈R，求f（x）=|x-1|+x的最小值S；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a，b∈R⁺，a²+b²≤S，試求2a+b的最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別討論x的取值范圍，利用分段函數(shù)即可求f（x）=|x-1|+x的最小值S；
（Ⅱ）作出不等式對應(yīng)的平，區(qū)域，利用線性規(guī)劃以及數(shù)形結(jié)合的思想即可求2a+b的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x≥1時，f（x）=|x-1|+x=2x-1為增函數(shù)，此時函數(shù)f（x）的最小值S=f（1）=1；
當(dāng)x＜1時，f（x）=|x-1|+x=1-x+x=1，
綜上函數(shù)f（x）的最小值S=f（1）=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=1，若a，b∈R⁺，a²+b²≤1，則不等式對應(yīng)的區(qū)域為半徑為1的圓及其內(nèi)部，
設(shè)z=2a+b，則b=-2a+z，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則當(dāng)直線和圓在第一象限內(nèi)相切時，z取得最大值．
此時圓心到直線的距離d=

|z|

22+1

=

|z|

5

=1，
解得z=±

5

，
則z的最大值為

5

．

點評：本題主要考查不等式的求解，利用線性規(guī)劃的知識是解決本題的關(guān)鍵．