Question

7．為了調(diào)查高中學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)與性別的關(guān)系，隨機(jī)抽查男、女學(xué)生各 40 名，得到具體數(shù)據(jù)如表：

是否喜歡數(shù)學(xué)	是	否	合計(jì)
男生	30	10	40
女生	20	20	40
合計(jì)	50	30	80

（I）根據(jù)上面的列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.025 的前提下，認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)？
（II）計(jì)算這 80 位學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)的頻率；（III）用分層抽樣的方法從不喜歡數(shù)學(xué)的男女學(xué)生中抽查 6 人進(jìn)行數(shù)學(xué)問卷調(diào)查，再從中抽取 4 份問卷遞交校長辦，求至少抽出 3 名女生問卷的概率．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0[來源：]	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K²的觀測值，對照臨界值即可得出結(jié)論；
（II）根據(jù)概率公式計(jì)算這 80 位學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)的頻率值；
（III）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽取的男生、女生人數(shù)，以及對應(yīng)基本事件數(shù)，再求概率值．

解答 解：（I）根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算K²的觀測值為：
$k=\frac{{80×{{（30×20-20×10）}^2}}}{50×30×40×40}=\frac{16}{3}≈5.333＞5.024$，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能認(rèn)為“喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)”；
（II）根據(jù)概率公式，計(jì)算這 80 位學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)的頻率為
P=$\frac{10+20}{80}$=$\frac{3}{8}$；
（III）根據(jù)分層抽樣原理，從不喜歡數(shù)學(xué)的男女學(xué)生中抽查 6 人，
男生6×$\frac{10}{30}$=2人，女生是6-2=4人，
再從這6人中抽取 4 份問卷，基本事件數(shù)是${C}_{6}^{4}$=15，
至少抽出 3 名女生問卷的事件數(shù)是${C}_{4}^{3}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{4}^{4}$=9，
故所求的概率為P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與古典概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．