如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面A1DC;
(Ⅱ)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的正弦值;
(Ⅲ)當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.
分析:(I)由Rt△ABC中,∠C=90°且DE∥BC,證出A1D⊥DE.結(jié)合A1D⊥CD,可得A1D⊥面BCDE,從而得到A1D⊥BC.最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理,結(jié)合BC⊥CD可證出BC⊥面A1DC;
(II)以C為原點(diǎn),CD、CB所在直線(xiàn)分別為x、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.可得D、E、B、A1各點(diǎn)的坐標(biāo),從而算出
CB
、
CA1
的坐標(biāo),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出
n
=(2,0,-1)為平面A1BC的一個(gè)法向量.根據(jù)空間向量的夾角公式和直線(xiàn)與平面所成角的性質(zhì),即可算出BE與平面A1BC所成角的正弦值;
(III)設(shè)D(x,0,0),可得A1(x,0,6-x),由此得到A1B=
2x2-12x+45
,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)A1B的長(zhǎng)度最小,并且這個(gè)最小值為3
3
解答:解:(Ⅰ)∵在△ABC中,∠C=90°,DE∥BC,
∴AD⊥DE,可得A1D⊥DE.
又∵A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面BCDE.
∵BC?面BCDE,∴A1D⊥BC.
∵BC⊥CD,CD∩BC=C,∴BC⊥面A1DC.…(4分)
(Ⅱ)以C為原點(diǎn),CD、CB所在直線(xiàn)分別為x、y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示. …(5分)
可得D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),A1(2,0,4).
設(shè)
n
=(x,y,z)為平面A1BC的一個(gè)法向量,
CB
=(0,3,0)
,
CA1
=(2,0,4)
,∴
3y=0
2x+4z=0

令x=2,得y=0,z=-1.
所以
n
=(2,0,-1)為平面A1BC的一個(gè)法向量.      …(7分)
設(shè)BE與平面A1BC所成角為θ,則sinθ=|cos<
BE
•n>|=
4
5
5
=
4
5

所以BE與平面A1BC所成角的正弦值為
4
5
.          …(9分)
(Ⅲ)設(shè)D(x,0,0),則A1(x,0,6-x),
A1B=
(x-0)2+(0-3)2+(6-x-0)2
=
2x2-12x+45
…(12分)
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得當(dāng)x=3時(shí),
A1B的最小值是3
3
,由此點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)
即D為AC中點(diǎn)時(shí),A1B的長(zhǎng)度最小,最小值為3
3
.  …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題在四棱錐中求證線(xiàn)面垂直,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值并探索線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值.著重考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究直線(xiàn)與平面所成角和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
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