Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若P為雙曲線C上一點(diǎn)，雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為E、F，且$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，求△PEF的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，求出幾何量，即可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q，$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p²+q²=|EF|²=12，由雙曲線定義：|p-q|=2a兩邊平方，把p²+q²代入即可求得pq，從而求出△PEF的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，
∴a=1，c=$\sqrt{3}$
∴雙曲線C的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q
由雙曲線定義：|p-q|=2a=2
平方得：p²-2pq+q²=4
$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p²+q²=|EF|²=12
所以pq=4
即S=$\frac{1}{2}$|PE|•|PF|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．