Question

6．給出下列五個(gè)命題：
①函數(shù)$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的一條對(duì)稱軸是x=$\frac{5π}{12}$；
②函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱；
③存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=2；
④若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，則x₁-x₂=kπ，其中k∈Z
⑤函數(shù)y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是奇函數(shù)；
以上五個(gè)命題中正確的有①②⑤（填寫正確命題前面的序號(hào)）

Answer 1

分析 把x=$\frac{5π}{12}$代入函數(shù)得  y=1，為最大值，故①正確．
由正切函數(shù)的圖象特征可得（$\frac{π}{2}$，0）是函數(shù)y=tanx的圖象的對(duì)稱中心，故②正確．
利用輔助角公式進(jìn)行化簡即可得③是不正確的．
若 $sin（2{x}_{1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x}_{2}-\frac{π}{4}）$，則有 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
即 x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，故④不正確．
先化簡函數(shù)y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{2}{3}$x進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①把x=$\frac{5π}{12}$代入函數(shù)得  y=1，為最大值，故①正確．
②結(jié)合函數(shù)y=tanx的圖象可得點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）是函數(shù)y=tanx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故②正確．
③sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，∵2＞$\sqrt{2}$，∴存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=2錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤，
④若 $sin（2{x}_{1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x}_{2}-\frac{π}{4}）$，則有  2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故④不正確．
⑤函數(shù)y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{2}{3}$x是奇函數(shù)，故⑤正確；
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．