Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，由題設(shè)條件推導(dǎo)出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知條件推導(dǎo)出∠EBF=60°，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，能推導(dǎo)出∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值．
法二：以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，
則BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）
又∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根據(jù)題意，點(diǎn)F落在BO上，
∵BE和平面ABC所成的角為60°，
∴∠EBF=60°，
∵BE=2，∴EF=DO=

3

，…（4分）
∴四邊形DEFO是平行四邊形，
∴DE∥OF，
∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，
∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角．…（9分）
Rt△EFG中，FG=FB•sin30°=

1

2

，EF=

3

，EG=

13

2

．
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

13

．
即二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．…（12分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
B（0，

3

，0），C（-1，0，0），E（0，

3

-1，

3

），
∴

BC

=（-1，-

3

，0），

BE

=（0，-1，

3

），
平面ABC的一個法向量為

n1

=(0，0，1)
設(shè)平面BCE的一個法向量為

n2

=(x，y，z)
則

n2 • BC =0 n2 • BE =0

，∴

-x- 3 y=0 -y- 3 z=0

，
∴

n2

=(-3，

3

，1)．…（9分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

13

13

，
又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，
二面角E-BC-A的余弦值為

13

13

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．