Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、B是橢圓的左、右頂點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P是橢圓上的動點．其中，|PF|的最小值是2-

2

，△PFA的面積最大值是

2

-1．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，直線BM⊥AB，BM交AP于M，OM交BP于N，求點N到點Q（0，2）的距離的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用|PF|≥a-c，S△PFA=

1

2

(a-c)•|yP|≤

1

2

(a-c)•b，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（II）設(shè)M（2，m），則直線AM的方程為：y=

m

4

(x+2)．代入橢圓的方程可得關(guān)于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系，進而得到直線BP、直線OM的方程．聯(lián)立可得點N的軌跡方程，再利用點到圓上的點的距離求法即可得出．

解答： 解：（I）|PF|=a+ex≥a-c=2-

2

，S△PFA=

1

2

(a-c)•|yP|≤

1

2

(a-c)•b=

2

-1，
聯(lián)立

a-c=2- 2 1 2 (a-c)•b= 2 -1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

．
∴該橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）設(shè)M（2，m），則直線AM的方程為：y=

m

4

(x+2)．
代入橢圓的方程可得（m²+8）x²+4m²x+4m²-32=0，
∴-2+xP=-

4m2

m2+8

，化為xP+2=

32

m2+8

．
∴kBP=

yP

xP-2

=

m(xP+2)

4(xP-2)

=-

2

m

．
由直線BP：y=-

2

m

(x-2)，
直線OM的方程為：y=

m

2

x．
聯(lián)立

y=- 2 m (x-2) y= m 2 x

，化為y²=-x（x-2）（x≠0）．
即（x-1）²+y²=1（x≠0），圓心C（1，0），半徑r=1．
∴|QN|_min=|CN|+1=

12+22

+1=

5

+1．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系、直線的方程、兩點間的距離公式、點到圓上的點的最值距離的求法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．