Question

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分別以O(shè)C，OA，OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz．
（Ⅰ）求

SC

與

OB

夾角的余弦值；
（Ⅱ）求OC與平面SBC夾角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知，求出各頂點的坐標，進而求出向量

SC

與

OB

的坐標，代入向量夾角公式，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）求出平面SBC的法向量，

OC

=（2，0，0），利用向量的夾角公式，即可求OC與平面SBC夾角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面OABC的法向量，平面SBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角S-BC-O．

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴

SC

=（2，0，-1），

OB

=（1，1，0），
∴cos＜

SC

，

OB

＞=

2

5 • 2

=

10

5

．
∴

SC

與

OB

夾角的余弦值為

10

5

．           …（3分）
（Ⅱ）設(shè)平面SBC的法向量

n

=（1，p，q），
∵

SC

=（2，0，-1），

CB

=（-1，1，0），
∴

2-q=0 -1+p=0

，∴

p=1 q=2

，
∴

n

=（1，1，2），…（6分）
又∵

OC

=（2，0，0），
∴cos＜

n

，

OC

＞=

n • OC

| n || OC |

=

2

6 ×2

=

6

6

∴OC與平面SBC夾角的正弦值為

6

6

；…（8分）
（Ⅲ）∵SO⊥平面OABC，∴

OS

=（0，0，1）為平面OABC的法向量．
又∵平面SBC的法向量

n

=（1，1，2），
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n || OS |

=

2

6

=

6

3

．
∴二面角S-BC-O的余弦值為

6

3

．…（12分）

點評：本題考查空間角的計算，考查向量法的運用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．