Question

10．已知在多面體SP-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AE∥面SPD；
（2）求二面角B-PS-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取SD的中點(diǎn)F，連接PF，過F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，連接QC，推導(dǎo)出CPFQ為平行四邊形，四邊形AECQ為平行四邊形，從而AE∥PF，由此能證明AE∥面SPD．
（2）分別以AB，AD，AS所在的直線為x，y，z軸，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，能求出二面角B-PS-D的余弦值．

解答 證明：（1）取SD的中點(diǎn)F，連接PF，過F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，連接QC，
∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF為SD的中點(diǎn)，∴Q為AD的中點(diǎn)，
FQ=$\frac{1}{2}$AS，PC=$\frac{1}{2}$AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，
∴CPFQ為平行四邊形，∴PF∥CQ，
又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四邊形AECQ為平行四邊形，∴AE∥CQ，
又PF∥CQ，∴AE∥PF，
∴PF?面SPD，AE?面SPD，∴AE∥面SPD．
解：（2）分別以AB，AD，AS所在的直線為x，y，z軸，
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），
$\overrightarrow{SP}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-2），
設(shè)面BPS與面SPD的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{x-2z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（4，-1，2），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-c=0}\\{2b-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
兩平面的法向量所成的角的余弦值為：
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4×（-1）+（-1）×1+2×1}{\sqrt{21}•\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∵二面角B-PS-D為鈍角，∴該二面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．