Question

19．設(shè)曲線C：y=alnx（a≠0）在點(diǎn)T（x₀，alnx₀）處的切線與x軸交于點(diǎn)A（f（x₀），0），函數(shù)g（x）=$\frac{2x}{1+x}$．
（1）求f（x₀），并求出f（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）設(shè)在區(qū)間（0，1）上，方程f（x）=k的實(shí)數(shù)解為x₁，g（x）=k的實(shí)數(shù)解為x₂，比較x₂與x₁的大小．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求f（x₀），取得函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）作差，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)值的范圍，即可比較x₂與x₁的大�。�

解答 解：（1）曲線C：y=alnx（a≠0）在點(diǎn)T（x₀，alnx₀）處的切線方程為y-alnx₀=$\frac{a}{{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0，可得x=x₀-x₀lnx₀，
∴f（x₀）═x₀-x₀lnx₀；
故f（x）=x-xlnx，f′（x）=-lnx．
0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=1，無極小值；
（2）由題意，f（x₁）=k，g（x₂）=k，∴$\frac{2{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=k，∴x₂=$\frac{k}{2-k}$，
k=f（x₁），代入，x₂=$\frac{f（{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$
∴x₂-x₁=$\frac{f（{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$-x₁=$\frac{{x}_{1}（1+{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$[（1-lnx₁）-$\frac{2}{1+{x}_{1}}$]，
∵x₁∈（0，1），由（1）可知f（x₁）＜1，2-f（x₁）＞0，
∴$\frac{{x}_{1}（1+{x}_{1}）}{2-f（{x}_{1}）}$＞0．
令h（x）=1-lnx-$\frac{2}{1+x}$，h′（x）=-$\frac{1+{x}^{2}}{x（1+x）^{2}}$＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴（1-lnx₁）-$\frac{2}{1+{x}_{1}}$＞0，
∴x₂-x₁＞0，∴x₂＞x₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．