Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊外的一點，滿足：CE∥BD，BE=BD，則CE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由正方形ABCD，得到三角形DCB為等腰直角三角形，且兩直角邊為1，根據(jù)勾股定理求出BD的長，又BE=BD，從而得到BE的長，設CF=x，故BF=BC-CF=1-x，在直角三角形BCF中，由BC=1，CF=x，根據(jù)勾股定理表示出BF，再由BE-BF表示出EF，由EC與BD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出兩對內(nèi)錯角相等，利用兩對角對應相等的兩三角形相似可得三角形BDF與三角形ECF相似，根據(jù)相似得比例，把各邊的長代入列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而求出相似比，可得出CE的長．

解答 解：$BE=BD=\sqrt{2}$，設CF=x，則$BF=\sqrt{1+{x^2}}$，DF=1-x，
EF=$\sqrt{2}$-$\sqrt{1{+x}^{2}}$，由△BDF～△ECF，得$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}=\frac{EC}{BD}$，
即有$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{1+{x^2}}}}=\frac{x}{1-x}$，所以$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1}$，$\frac{{\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1-x}{1}$，則$x=2-\sqrt{3}$，
再由$\frac{EC}{BD}=\frac{CF}{DF}$，即$\frac{EC}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1-x}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，所以$EC=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應用，相似三角形是中考的必考內(nèi)容，證明三角形的相似可以得到其對應邊成比例，利用比例式建立已知邊與未知邊的聯(lián)系，借助方程的思想來解決問題，利用線段的加減及勾股定理表示出相似三角形的對應邊是解本題的關鍵．