Question

8．已知點A（-a，0），B（a，0），若圓 （x-3）²+（y-4）²=1上存在點P．使得∠APB=90°，則正數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [4，6]
• B． [5，6]
• C． [4，5]
• D． [3，6]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設(shè)P（m，n）在圓C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n），利用∠APB=90°，求出a²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出a的取值范圍．

解答 解：∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=1，
∴圓心C（3，4），半徑r=1；
設(shè)點P（m，n）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴（m+a）（m-a）+n²=0；
即a²=m²+n²；
∴|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴a的取值范圍是[4，6]．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．