Question

已知雙曲線C的漸近線方程為y=±x，且它的一個焦點與點A（0，

2

）關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，確定雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，即可求雙曲線C的方程；
（2）直線y=mx+1與雙曲線C方程聯(lián)立，令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，即可求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x
故設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，…（2分）
A(0，

2

)關(guān)于直線y=x對稱點為(

2

，0)
∴雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)…（3分）
∴2a²=2，a²=1，∴雙曲線C的方程為x²-y²=1…（4分）
（2）由

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0…（6分）
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

，…（8分）解得1＜m＜

2

…（9分）
又AB中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)…（10分）
∴直線L的方程為y=

1

-2m2+m+2

(x+2)…（11分）
令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

…..（12分）
=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

…（13分）
∵m∈(1，

2

)，∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
∴故b的取值范圍是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)…（14分）

點評：本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．