Question

已知函數(shù)f（x）=（

2

）^x+a的反函數(shù)f^-1（x）的圖象過原點．
（1）若f^-1（x-3），f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差數(shù)列，求x的值；
（2）若互不相等的三個正數(shù)m、n、t成等比數(shù)列，問f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能否組成等差數(shù)列，并證明你的結論．

Answer 1

考點：等差關系的確定,反函數(shù)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=（

2

）^x+a的反函數(shù)f^-1（x）的圖象過原點，可得：函數(shù)f（x）=（

2

）^x+a也經(jīng)過原點，解得a=-1．可得函數(shù)f（x）=（

2

）^x-1的反函數(shù)f^-1（x）=log

2

(x+1)，由f^-1（x-3），
f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差數(shù)列，2f^-1（

2

-1）=f^-1（x-3）+f^-1（x-4），再利用對數(shù)的運算法則即可得出．
（2）互不相等的三個正數(shù)m、n、t成等比數(shù)列，則n²=mt．假設f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能組成等差數(shù)列，可得2f^-1（t）=f^-1（n）+f^-1（m），代入可得（t-n）（t²+nt+n²+2t+n）=0，這與互不相等的三個正數(shù)相矛盾．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（

2

）^x+a的反函數(shù)f^-1（x）的圖象過原點，
∴函數(shù)f（x）=（

2

）^x+a也經(jīng)過原點，
∴0=(

2

)0+a，解得a=-1．
∴函數(shù)f（x）=（

2

）^x-1的反函數(shù)f^-1（x）=log

2

(x+1)，
∵f^-1（x-3），f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差數(shù)列，
∴2f^-1（

2

-1）=f^-1（x-3）+f^-1（x-4），
∴2log

2

(

2

-1+1)=log

2

(x-3+1)+log

2

(x-4+1)，
化為2=log

2

(x-2)(x-3)，
∴（x-2）（x-3）=(

2

)2，
化為x²-5x+4=0，解得x=1或4．
經(jīng)檢驗可知：x=1不滿足條件．
∴x=4．
（2）互不相等的三個正數(shù)m、n、t成等比數(shù)列，則n²=mt．
假設f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能組成等差數(shù)列，
則2f^-1（t）=f^-1（n）+f^-1（m），
∴2log

2

(t+1)=log

2

(n+1)+log

2

(m+1)，
化為（t+1）²=（m+1）（n+1），
把m=

n2

t

代入上式可得：t²+2t=

n3

t

+nt+n2，
化為（t-n）（t²+nt+n²+2t+n）=0，
∵三個正數(shù)m、n、t，∴t=n．
這與互不相等的三個正數(shù)相矛盾．
∴f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）不能組成等差數(shù)列．

點評：本題考查了反函數(shù)的性質、等差數(shù)列的性質、對數(shù)的運算性質、反證法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．