Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若將函數(shù)的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間[0，

π

2

）上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式求出周期T，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）=f（x-

π

3

）=2sin（2x-

π

3

）．結(jié)合x∈[0，

π

2

），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

），所以T=

2π

2

=π．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z單調(diào)遞減．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
所以 g（x）=f（x-

π

3

）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2x-

π

3

）．
因?yàn)閤∈[0，

π

2

），所以 2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

），
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時(shí)，即x=

5π

12

時(shí)，g（x）取得最大值2，
當(dāng)2x-

π

3

=-

π

3

時(shí)，即x=0時(shí)，g（x）取得最小值-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．