Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，任意的0＜a＜b，證明：

f(b)-f(a)

lnb-lna

≤1-a．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R，定義域?yàn)椋?，+∞）．f′(x)=

1-mx

x

（x＞0）．對(duì)m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出．
（II）由（1）可知，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）≤0不恒成立；當(dāng)m＞0時(shí)，fmax(x)=f(

1

m

)=-lnm-1+m，要使f（x）≤0恒成立，即-lnm-1+m≤0．令h（m）=-lnm-1+m，
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．
（III）0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），

f(b)-f(a)

lnb-lna

=

lnt-a(t-1)

lnt

=1-

a(t-1)

lnt

，再利用（II）的結(jié)論t＞1時(shí)，lnt＜t-1．即可證明．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R，定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′(x)=

1-mx

x

（x＞0）．
當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

m

，令f′（x）＜0，可得x＞

1

m

，
∴函數(shù)f（x）在(0，

1

m

)上為增函數(shù)，在(

1

m

，+∞)上為減函數(shù)．
（2）由（1）可知，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）≤0不恒成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，fmax(x)=f(

1

m

)=-lnm-1+m，
要使f（x）≤0恒成立，即-lnm-1+m≤0．
令h（m）=-lnm-1+m，h′(m)=

m-1

m

，
可得m∈（0，1）時(shí)，h（m）為減函數(shù)，m∈（1，+∞）時(shí)，h（m）為增函數(shù)，
∴h_min（m）=h（1）=0，
∴m=1．
∴m的取值范圍是{1}．
（3）證明：∵0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），

f(b)-f(a)

lnb-lna

=

lnt-a(t-1)

lnt

=1-

a(t-1)

lnt

，
由（2）知f（x）=lnx-x+1≤0，可得lnt≤t-1，

t-1

lnt

≥1，得

-a(t-1)

lnt

≤-a，
∴

f(b)-f(a)

lnb-lna

≤1-a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論解決新問(wèn)題的能力，屬于難題．