Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，若函數(shù)y=|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值是M，求證：M≥

1

2

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Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把函數(shù)|f（x）|=g（x）配方，然后分|b|＞2時(shí)，|b|≤2時(shí)，由函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)性求出其最大值，又g（b）=|b²+c|，再分當(dāng)-2≤b≤0時(shí)和0＜b≤2時(shí)，求出最大值M，經(jīng)比較可知對任意的b、c都有M≥

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2

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解答： 解：設(shè)|f（x）|=g（x），
當(dāng)|b|≤2時(shí)，函數(shù)y=g（x）的對稱軸x=-

b

2

位于區(qū)間[-1，1]之內(nèi)，
此時(shí)M=max{g（-1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|2b²+c|，
①當(dāng)-2≤b≤0時(shí)，有f（1）≤f（-1）≤f（b），
則M=max{g（b），g（1）}≥

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2

[g（b）+g（1）]≥

1

2

|f（b）-f（1）|=

1

2

（b-

1

2

）²≥

1

2

；
②當(dāng)0＜b≤2時(shí)，有f（-1）≤f（1）≤f（b）．
則M=max{g（b），g（-1）}≥

1

2

（g（b）+g（-1））≥

1

2

|f（b）-f（-1）|=

1

2

（b-

1

2

）²≥

1

2

；
綜上可知，對任意的b、c都有M≥

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2

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點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，考查了分類討論．