Question

5．某研究所計(jì)劃利用“神十”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃搭載若干件新產(chǎn)品A、B，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生的收益來決定具體搭載安排，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

	每件產(chǎn)品A	每件產(chǎn)品B
研制成本、搭載 費(fèi)用之和（萬元）	20	30	計(jì)劃最大資金額 300萬元
產(chǎn)品重量（千克）	10	5	最大搭載重量110千克
預(yù)計(jì)收益（萬元）	80	60

分別用x，y表示搭載新產(chǎn)品A，B的件數(shù)．總收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問分別搭載新產(chǎn)品A、B各多少件，才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大？并求出此最大收益．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，列出關(guān)于x，y的不等式組，由不等式組得到平面區(qū)域即可；
（Ⅱ）列出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)（Ⅰ）的約束條件以及可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）解：由已知x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{{\begin{array}{l}{20x+30y≤300}\\{10x+5y≤110}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，且x∈N，y∈N，
該二元一次不等式組所表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分．…（6分）

（Ⅱ）解：設(shè)最大收益為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)z=80x+60y．
作出直線l_a：4x+3y=0并平移，由圖象知，
當(dāng)直線經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)，z能取到最大值，
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+3y=30}\\{2x+y=22}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=4}\end{array}}\right.$且滿足x∈N，y∈N，即M（9，4）是最優(yōu)解，
所以z_max=80×9+60×4=960（萬元），
答：搭載A產(chǎn)品9件，B產(chǎn)品4件，能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大值，最大預(yù)計(jì)收益為960萬元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的解決收益最大；關(guān)鍵是正確列出約束條件以及目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值．