Question

15．已知函數(shù)f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）sinx+（sinx+cosx）²．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求$g（\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換規(guī)律，求出g（x）的解析式，在求$g（\frac{π}{6}）$的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos（$\frac{π}{2}$-x）sinx+（sinx+cosx）²．
化簡(jiǎn)得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx
=2sin²x+sin2x+1
=2（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x）+sin2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2
由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)．
可得：2x-$\frac{π}{4}$∈[$2πk-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是單調(diào)增區(qū)間，即$2πk-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{3π}{8}$，
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$kπ-\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{3π}{8}$]，（k∈Z）
       （2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+2的圖象，再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到g（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{12}$）+2的圖象．
∴$g（\frac{π}{6}）$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{12}$）+2=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$+2=3
所以$g（\frac{π}{6}）$的值為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用和化簡(jiǎn)能力．三角函數(shù)的圖象平移變換規(guī)律．屬于中檔題．