Question

設(shè)直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂=-

1

9

，
（Ⅰ）證明：l₁與l₂相交；
（Ⅱ）求l₁與l₂的交點P的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與軌跡C交于M、N兩點，與y軸交于點R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）用反證法，假設(shè)l₁與l₂不相交，得k12=-

1

9

，此與k₁為實數(shù)的事實相矛盾，所以l₁與l₂相交．
（Ⅱ）設(shè)交點P（x，y），滿足

y-1=k1x y+1=k2x

，由此得到

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

9

，從而能求出交點P的軌跡C的方程．
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），則M，N兩點坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，由已知條件推導(dǎo)出λ=

x3

1-x3

，μ=

x4

1-x4

，由此利用韋達(dá)定理得λ+μ=-

9

4

．

解答： （Ⅰ）證明：用反證法，假設(shè)l₁與l₂不相交，
則l₁與l₂平行，則k₁=k₂，
代入k₁k₂=-

1

9

，得k12=-

1

9

，
此與k₁為實數(shù)的事實相矛盾，
∴k₁≠k₂，假設(shè)不成立，
∴l(xiāng)₁與l₂相交．
（Ⅱ）設(shè)交點P（x，y），滿足

y-1=k1x y+1=k2x

，
∴x≠0，

k1= y-1 x k2= y+1 x

，
代入k1k2=-

1

9

，得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

9

，
整理，得：

x2

9

+y2=1，
∴交點P的軌跡C的方程為

x2

9

+y2=1．
（Ⅲ）依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₃），
則M，N兩點坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
∴x₃+x₄=

18k2

1+9k2

，①，x3x4=

9k2-9

1+9k2

，②
∵

RM

=λ

MQ

，∴（x₃，y₃）-（0，y₃）=λ[（t，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3) y3-y3=-λy3

，∴x₃=λ（1-x₃），
∵l與x軸不垂直，∴x₃≠1，∴λ=

x3

1-x3

，
同理μ=

x4

1-x4

，
∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

，
將①②代入，得λ+μ=-

9

4

．

點評：本題考查兩直線相交的證明，考查兩直線的交點的軌跡方程的求法，考查兩實數(shù)和為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意反證法的合理運用．