Question

已知球的直徑SC=8，A，B是該球球面上的兩點，AB=2

3

，∠SCA=∠SCB=60°，則三棱錐S-ABC的體積為（　　）

• A、2

  3

• B、4

  3

• C、6

  3

• D、8

  3

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點D，連結(jié)AD、BD．由球的直徑的性質(zhì)可得△SAC中∠SAC=90°，結(jié)合∠ASC=30°且SC=8，算出AC=4，可得△AOC是邊長為4的正三角形，得出AD⊥SC且AD=2

3

，同理BD⊥SC且BD=2

3

．由此可得△ABD是邊長為2

3

的等邊三角形且SC⊥平面ABD，再利用錐體的體積公式加以計算，可得三棱錐S-ABC的體積．

解答： 解：設(shè)球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點D，連結(jié)AD、BD，
∵SC為球的直徑，A、B是球面上的點，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠SCA=∠SCB=60°，SC=8，∴BC=AC=

1

2

SC=4．
∵△AOC中，AO=CO=AC=4，∴△AOC是邊長為4的正三角形，
又∵D為CO的中點，∴AD⊥SC且AD=

3

2

×4=2

3

．
同理可得BD⊥SC且BD=2

3

，
∵AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線，∴SC⊥平面ABD．
∵AB=2

3

，AD=BD=2

3

，
∴△ABD是等邊三角形，可得S_△ABD=

1

2

AD×BDsin60°=3

3

．
因此，三棱錐S-ABC的體積為
V=V_C-ABD+V_S-ABD=

1

3

×S_△ABD×CD+

1

3

×S_△ABD×SD=

1

3

×S_△ABD（CD+SD）
=

1

3

S_△ABD×SC=

1

3

×8×3

3

=8

3

．
故選：D．

點評：本題給出球的直徑與兩條直線所成角的大小，求球內(nèi)接三棱錐的體積．著重考查了球的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體、線面垂直的判定定理與錐體體積求法等知識，屬于中檔題．