Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=AA₁=2，點(diǎn)E、F分別是AD、BB₁的中點(diǎn)．
（1）求線段EF的長；
（2）求異面直線EF與CA₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）分別以AD、AB、AA₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

EF

，由此能求出線段EF的長．
（2）求出

EF

，

CA1

，設(shè)異面直線EF與CA₁所成角為θ，cosθ=

| EF • CA1 |

| EF |•| CA1 |

，由此能求出異面直線EF與CA₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，分別以AD、AB、AA₁為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，4，0），
B₁（0，4，2），E（1，0，0），F(xiàn)（0，4，1），
∴

EF

=（-1，4，1），
∴線段EF的長|

EF

|=

1+16+1

=3

2

．
（2）

EF

=（-1，4，1），
C（2，4，0），A₁（0，0，2），

CA1

=（-2，-4，2），
設(shè)異面直線EF與CA₁所成角為θ，
cosθ=

| EF • CA1 |

| EF |•| CA1 |

=

12

3 2 •2 6

=

3

3

．
∴異面直線EF與CA₁所成角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查線段長的求法，考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意向量法的合理運(yùn)用．