Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R，且m＞0，區(qū)間D={x|f（x）＜0}．
（1）求區(qū)間D的長度（區(qū)間（a，b）的長度定義為b-a）；
（2）記區(qū)間D的長度為g（m），試用函數(shù)的單調(diào)性定義證明g（m）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）給定常數(shù)t∈（0，2），當(dāng)2-t≤m≤2+t時，求區(qū)間D的長度的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解不等式mx²-（4+m²）x＜0，m＜0，即可得出0＜x＜

m2+4

m

，求出b-a=

m2+4

m

，
（2）區(qū)間D的長度為g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，運(yùn)用單調(diào)性的定義證明．
（3）判斷當(dāng)m=2時，g（m）=4，此時為最小值
當(dāng)m=t-2時，g（2-t）=2-t+

4

2-t

，當(dāng)m=t+2時，g（t+2）=t+2+

4

t+2

，作差g（t+2）-g（2-t）=2t+

4

t+2

-

4

2-t

=2t+

-8t

4-t2

=

-2t3

4-t2

＜0，即可得出區(qū)間D的長度的最大值為g（2-t）．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R，且m＞0，區(qū)間D={x|f（x）＜0}．
∴區(qū)間D={x|f（x）＜0}．
∵mx²-（4+m²）x＜0，m＜0，
∴mx²-（4+m²）x=0，
x=0，x=

m2+4

m

，
∴0＜x＜

m2+4

m

，
b-a=

m2+4

m

，
（2）區(qū)間D的長度為g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，
m₁＜m₂，g（m₁）-g（m₂））=m₁+

4

m1

-m₂-

4

m2

=（m₁-m₂）

(m1m2-4)

m1m2

，
∵m₁，m₂∈（0，2），
∴m₁-m₂＜0，0＜m₁m₂＜4，
∴m₁m₂-4＜0，
∴g（m₁）-g（m₂））＞0，
∴g（m）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∵m₁，m₂∈（2，+∞）
∴m₁m₂＞4，m₁-m₂＜0，m₁m₂-4＞0，
∴g（m₁）-g（m₂））＜0，
g（m）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）∵區(qū)間D的長度為g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，給定常數(shù)t∈（0，2），當(dāng)2-t≤m≤2+t時，
∴2∈（2-t，2+t），（2-t，2）單調(diào)遞減，（2，2+t）單調(diào)遞增，
當(dāng)m=2時，g（m）=4，此時為最小值
當(dāng)m=t-2時，g（2-t）=2-t+

4

2-t

，
當(dāng)m=t+2時，g（t+2）=t+2+

4

t+2

，
∵g（t+2）-g（2-t）=2t+

4

t+2

-

4

2-t

=2t+

-8t

4-t2

=

-2t3

4-t2

＜0，
∴g（t+2）＜g（2-t），
區(qū)間D的長度的最大值為g（2-t）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的定義，運(yùn)用不等式求解問題，屬于中檔題．