Question

9．某種鮮花進(jìn)價每束2.5元，售價每束5元，若賣不出，則以每束1.6元的價格處理掉，某節(jié)日鮮花的需求量X（單位：束）的分布列為

X	200	300	400	500
P	0.20	0.35	0.30	0.15

（Ⅰ）若進(jìn)鮮花400束，是寫出銷售量S（單位：束）的分布列，并求利潤Y的均值．
（Ⅱ）若進(jìn)鮮花n束（300＜n≤500），求n取何值時可使利潤Y的均值最大？

Answer 1

分析 （1）由銷售量S（單位：束）的分布列求出E（S），再由已知函數(shù)求出求出利潤Y關(guān)于銷售量S的函數(shù)，由此能求出E（Y）．
（2）分別求出當(dāng)400＜n≤500和當(dāng)300＜n≤400時，銷售量S（單位：束）的分布列、E（S）、E（Y），由此能得到n取何值時可使利潤Y的均值最大．

解答 解：（1）∵銷售量S（單位：束）的分布列為：

S	200	300	400
P	0.20	0.35	0.45

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+400×0.45=325，
而利潤Y=（5-2.5）S-（2.5-1.6）（400-S）=3.4S-360，
∴E（Y）=3.4E（S）-360=3.4×325-360=745．…（6分）
（2）當(dāng)400＜n≤500時，銷售量S（單位：束）的分布列為

S	200	300	400	n
P	0.20	0.35	0.30	0.15

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+n×0.15=0.15n+265，又Y=3.4S-0.9n，
∴E（Y）=3.4E（S）-0.9n=-3.9n+901； …（8分）
當(dāng)300＜n≤400時，銷售量S（單位：束）的分布列為

S	200	300	n
P	0.20	0.35	0.45

∴E（S）=200×0.20+300×0.35+n×0.45=0.45n+145，又Y=3.4S-0.9n，
E（Y）=3.4E（S）-0.9n=0.63n+493，…（10分）
E（Y）=$\left\{\begin{array}{l}{0.63n+493（300＜n≤400）}\\{-0.39n+901（400＜n≤500）}\end{array}\right.$，
∴n=400時，E（Y）取最大值745．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．