Question

對(duì)于△ABC，有如下四個(gè)命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形，
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形，
③若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC為正三角形，
④若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形，
⑤若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,解三角形

分析：①通過(guò)sin2A=sin2B求出A與B的關(guān)系，判斷正誤；
②sinA=cosB，找出反例，即可判斷△ABC是否是直角三角形；
③由正弦定理和二倍角的正弦公式，即可判斷；
④取A=30°，B=60°，C=90°即可判斷；
⑤由三角函數(shù)的有界性可知三個(gè)都是1或者兩個(gè)-1一個(gè)1，都是1顯然成立，如果兩個(gè)-1則不可能，即可判斷．

解答： 解：①由sin2A=sin2B，則2A=2B，或2A=180°-2B，所以①不正確；
②若sinB=cosA，則可取A=30°，B=60°或A=30°，B=120°，均滿足條件，但不一定為直角三角形，
故②不正確；
③由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，結(jié)合正弦定理有

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
即sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，又A，B，C為三角形內(nèi)角，所以A=B=C．所以③正確；
④取A=30°，B=60°，C=90°，滿足sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以④不正確；
⑤若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函數(shù)的有界性可知三個(gè)都是1或者兩個(gè)-1一個(gè)1，都是1顯然成立，
如果兩個(gè)-1則不可能，所以三角形為正三角形，所以⑤正確．
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷，考查了三角形中角的關(guān)系及正余弦定理，同時(shí)考查三角函數(shù)中的二倍角公式，誘導(dǎo)公式，此題是中檔題．