Question

已知：不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立?(

x

y

)2+(a-24)•

x

y

+a≥0，對(duì)于任意

x

y

＞0恒成立．令t=

x

y

＞0．則f（t）=t²+（a-24）t+a≥0對(duì)于任意t＞0恒成立．可得△=（a-24）²-4a≤0或

△＞0 - a-24 2 ＜0 f(0)≥0

．解出即可．

解答： 解：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
?(

x

y

)2+(a-24)•

x

y

+a≥0，對(duì)于任意

x

y

＞0恒成立．
令t=

x

y

＞0．
∴f（t）=t²+（a-24）t+a≥0對(duì)于任意t＞0恒成立．
∴△=（a-24）²-4a≤0或

△＞0 - a-24 2 ＜0 f(0)≥0

．
解得16≤a≤36或a＞36．
∴a≥16．
因此a的最小值是16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．