Question

3．?dāng)?shù)軸上有2個(gè)點(diǎn)A、B，最初A在原點(diǎn)，B在坐標(biāo)2的位置．規(guī)定如下，若投擲出來的硬幣為正面，則A點(diǎn)坐標(biāo)加上1，B點(diǎn)坐標(biāo)不動(dòng)；反之，若投擲出來的硬幣是反面，則B點(diǎn)坐標(biāo)加上1，A點(diǎn)坐標(biāo)不動(dòng)．求下列事件發(fā)生的概率
（1）硬幣投4次，A的坐標(biāo)為3的概率；
（2）A比B先到坐標(biāo)4的概率；
（3）硬幣投擲6次，A第一次追上B的概率．

Answer 1

分析 （1）硬幣投4次，A的坐標(biāo)為3，說明正面出現(xiàn)3次，反面出現(xiàn)1次，根據(jù)概率公式計(jì)算即可，
（2）分兩種情況計(jì)算，情形①：最初連續(xù)投擲4次都是正面，情形②：前4次中有3次正面，1次反面，分別計(jì)算概率公式即可．
（3）設(shè)投擲6回硬幣，其中正面的次數(shù)為x，當(dāng)A第一次追上B時(shí)，第六次投擲出的為正面．前面5次共3個(gè)正面，2個(gè)反面，共10種情況，
但正正反反正正等的情況不符合要求．只有五種情況符合要求，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）硬幣投4次，A的坐標(biāo)為3，說明正面出現(xiàn)3次，反面出現(xiàn)1次，故所求概率C₄³（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
（2）分兩種情況：情形①：最初連續(xù)投擲4次都是正面，概率為（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
情形②：前4次中有3次正面，1次反面，此時(shí)A的坐標(biāo)為3，B的坐標(biāo)也為3，此時(shí)再擲一次，
A比B先到和A比B后到坐標(biāo)4的概率相同，C₄³（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
綜上所述A比B先到坐標(biāo)4的概率為$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$，
（3）設(shè)投擲6回硬幣，其中正面的次數(shù)為x，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為x，B點(diǎn)的坐標(biāo)為2+（6-x）．
當(dāng)A追上B時(shí)，有x=2+（6-x），x=4．
當(dāng)A第一次追上B時(shí)，第六次投擲出的為正面．前面5次共3個(gè)正面，2個(gè)反面，共10種情況，
但正正反反正正等的情況不符合要求．
只有下列五種情況符合要求：反反正正正正，反正反正正正，反正正反正正．正反反正正正，正反正反正正．
故所求概率為：5×（$\frac{1}{2}$）⁶×=$\frac{5}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率的問題，以及概率公式，考查了學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，以及學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．