Question

16．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式、等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵${S_n}=2{a_n}-\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)n=1時，${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$2{a}_{n}-\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為2；
（2）解：由（1）可得${a}_{n}=\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
∴b_n=log₂a_n+3=n-2+3=n+1．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推公式、等比數(shù)列的定義、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．