Question

已知四邊形ABCD是菱形，DA=DB=2，DD₁⊥面ABCD，點P為線段OD₁上的任一點．
（1）若DD₁=2，DP⊥OD₁，求OD與面D₁AC所成角的正切值；
（2）若二面角C-AD₁-D的平面角的余弦值為

15

5

，求線段DD₁的長．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導出OD與面D₁AC所成角為∠DOP．由此能求出OD與面D₁AC所成角的正切值．
（2）建立空間直角坐標系oxyz，利用向量法能能求出線段DD₁的長．

解答： 解：（1）∵AC、BD為四邊形ABCD的兩條對角線，∴AC⊥BD．
又DD₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥DD₁．
∵DD₁∩DB=D，DD₁?面D₁DB，DB?面D₁DB，∴AC⊥面D₁DB．
∵DP?面D₁DB，∴DP⊥AC，且DP⊥OD₁，
∴DP⊥面D₁AC．∴OD與面D₁AC所成角為∠DOP．
由條件DD₁=2，DO=1，∴tan∠DOP=

DD1

DO

=2，
∴OD與面D₁AC所成角的正切值為2．
（2）如圖建立空間直角坐標系oxyz，
則A(

3

，0，0)，D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），

AD

=(-

3

，-1，0)，

AD1

=（-

3

，-1，2），
面D₁DA的一個法向量

n1

=（x，y，z），
則

n1 • AD =- 3 x-y=0 n1 • AD1 =- 3 x-y+2z=0

，取x=1，得

n1

=(1，-

3

，0)．
設線段DD₁的長為z₀，∴D₁（0，-1，z₀），

AD1

=(-

3

，-1，z0)，

AC

=(-2

3

，0，0)，
設面AD₁C的一個法向量

n2

=(x，y，z)．
由

AD1 • n2 =0 AC • n2 =0

，可得：

3 x+y-z0z=0 x=0

，
由x=0，y=z₀z，得

n2

=(0，z0，1)，
∵二面角C-AD₁-D的平面角的余弦值為

15

5

，
∴

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3 z0

2 z02+1

=

15

5

，
可解得：z₀=2，即：線段DD₁的長為2．

點評：本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．