Question

7．已知{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，a₁，a₅，a₂₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n=3ⁿ+n，由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差（比）數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁，a₅，a₂₅成等比數(shù)列，
可得a₅²=a₁a₂₅，
則（a₁+4d）²=a₁（a₁+24d），
由d=1，代入上式即為（a₁+4）²=a₁（a₁+24），
解得a₁=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
（2）b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n=3ⁿ+n，
前n項和T_n=（3+3²+…+3ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．