Question

15．如圖，已知CF是圓O的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，弦AB∥CF，E為圓周上一點(diǎn)，CE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，弧$\widehat{AB}$=弧$\widehat{BC}$．求證：
（1）△ABC是等邊三角形；
（2）△BCE∽△BCD．

Answer 1

分析 （1）證明AC=AB=BC，即可證明△ABC是等邊三角形；
（2）證明兩組對(duì)應(yīng)角相等，即可證明△BCE∽△BCD．

解答 證明：（1）∵AB∥CF，
∴∠FCA=∠BAC，
∵CF是圓O的切線(xiàn)，
∴∠FCA=∠ABC，∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=AB，
∵弧$\widehat{AB}$=弧$\widehat{BC}$，
∴AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）∠BEC=180°-∠BED，
∵A，B，E，C四點(diǎn)共圓，
∴∠BED=∠BAC，
∴∠BEC=180°-∠BAC．
由（1）得∠BAC=∠ABC，
∵∠DBC=180°-∠ABC，
∴∠BEC=∠DBC，
∵∠BCE=∠BCD，
∴△BCE∽△BCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的證明，考查三角形相似的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．