Question

14．已知橢圓C₁，C₂均為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率均為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中C₁的焦點坐標分別為（-1，0），（1，0），C₂的左右頂點坐標為（-2，0），（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l與C₁，C₂相交于A，B，C，D四點，如圖所示，試判斷|AC|和|BD|的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓C₁的焦距為2c₁，長軸為2a₁，短軸為2b₁，設橢圓C₂的焦距為2c₂，長軸為2a₂，短軸為2b₂，
利用已知條件，求出兩個橢圓的幾何量，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）|AC|=|BD|，①當直線l的斜率不存在時，顯然有|AC|=|BD|．②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，設點A坐標為（x₁，y₁），點B坐標為（x₂，y₂），點C坐標為（x₃，y₃），點D坐標為（x₄，y₄），聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達定理線段的中點是否相同．證明即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設橢圓C₁的焦距為2c₁，長軸為2a₁，短軸為2b₁，設橢圓C₂的焦距為2c₂，長軸為2a₂，短軸為2b₂，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_1}{a_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{c_1}=1\\{a_1}^2={b_1}^2+{c_1}^2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_2}{a_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a_2}=2\\{a_2}^2={b_2}^2+{c_2}^2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=\sqrt{2}\\{b_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\{b_2}=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以橢圓C₁的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以橢圓C₂的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）|AC|=|BD|．…．（5分）
①當直線l的斜率不存在時，顯然有|AC|=|BD|．…．（6分）
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，
設點A坐標為（x₁，y₁），點B坐標為（x₂，y₂），
點C坐標為（x₃，y₃），點D坐標為（x₄，y₄），
將直線l的方程與橢圓C₁方程聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，．…．（8分）
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（9分）
將直線l的方程與橢圓C₂方程聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（11分）
所以有弦AD的中點與弦BC的中點重合，．…．（13分）
所以有|AC|=|BD|．…．（14分）

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．